L’homme et les mathématiques.

 

maths

 

Notre époque est pleine de progrès technologiques époustouflants. Des ingénieurs sont capables de poser un robot tout terrain sur Mars. Des physiciens explorent jusqu’à la structure même de la matière et nous pouvons communiquer grâce à un réseau sans fil qui couvre presque toute la planète. Mais derrière toutes ces merveilles des temps modernes se cachent une chose complexe et mystérieusement puissante. On l’appelle parfois le langage de l’univers. Il s’agit sans doute de la plus grande découverte de toute la civilisation. Son nom? Les mathématiques. Mais quelle en est la véritable origine et pourquoi s’appliquent-elles si bien à toutes les sciences? Albert Einstein lui aussi s’est demandé comment il était possible que les mathématiques expliquent aussi bien l’univers. Les mathématiques sont-elles seulement humaines? Le fait est qu’elles nous ont permis de révéler le secret des orbites elliptiques des planètes, tout comme celui des ondes électromagnétiques. Elles ont guidé les chercheurs dans la découverte des particules subatomiques qui constituent la matière. Mais sont-elles seulement le produit de notre cerveau?

 

 

Dans la nature, les nombres sont omniprésents. Les nombres de pétales de fleurs se retrouvent très souvent. Ils pourraient paraître aléatoires mais appartiennent en fait à la suite de Fibonacci, une suite de nombres entiers découverts par un mathématicien italien du 13e siècle et qui se retrouverait souvent en botanique. Les liens mystérieux entre le monde physique et les mathématiques auraient des racines bien plus profondes. Quiconque connaît les bases de la géométrie connaissent le nombre pi. La séquence de ses décimales se poursuit à l’infini sans aucune périodicité. En 2013, elle a été calculé jusqu’à 12×10 puissance 12 décimales. Pi apparaît dans une myriade de phénomènes comme la théorie des probabilités, dans la modélisation des ondes de la lumière, du son. Durant l’Antiquité grecque, le philosophe mathématicien Pythagore s’intéressait déjà aux affinités entre les mathématiques et la musique. Les grecs anciens avaient identifié 3 types de relation entre les notes très agréables: l’octave, la quinte et le quarté. Pythagore a découvert des rapports mathématiques harmonieux, respectivement 2/1, 3/2 et 4/3. D’autres rapports existent en chimie, en astrophysique. Platon était convaincu que la géométrie et les mathématiques avaient leur propre existence dans le monde des idées, il vouait une passion pour les polyèdres. Les mathématiques seraient plus une découverte qu’une invention. Mais pourquoi existe-t-il des génies des mathématiques? Aujourd’hui l’imagerie médicale est capable de localiser les zones cérébrales dans lesquelles l’activité augmente lors de calculs. Mais est-ce due à un apprentissage ou est-ce inné? Des scientifiques effectuent des recherches sur les lémuriens, des primates qui partagent avec nous un lointain ancêtre. Les résultats laissent à penser que non seulement les lémuriens sont capables de percevoir des concepts mathématiques, mais aussi bien d’autres espèces animales. C’est aussi le cas du nourrisson humain. Notre perception des nombres serait primitif et préprogrammé, sans doute un avantage pour la survie. Les capacités individuelles restent cependant très variables d’un individu à l’autre. L’énigme des mathématiques reste entière. Si tout est dans notre tête, comment peuvent-elles être si efficace? En 2012, un robot tout terrain s’est posé sur Mars. Son atterrissage reposait sur la loi de la chute des corps. Le philosophe grec Aristote enseignait que les objets lourds tombaient plus vite que les objets légers, une idée qui semble logique. Cette conception a perduré durant plus de 2000 ans jusqu’à ce qu’elle soit remise en cause à la fin du 16e siècle par le mathématicien italien Galilée, et la démonstration flagrante réalisée sur la lune lors de la mission Apollo 15 en 1971.

 

 

La célèbre expérience de la chute des corps depuis la tour de Pise est bien connue (il est probable qu’en fait, Galilée n’a jamais fait cette expérience depuis la tour de Pise), son objectif consiste à mesurer le temps de chute de corps de différentes masses et de différentes natures. Galilée arriva à la conclusion (aujourd’hui classique), que ce temps de chute est le même pour tous les corps, quels que soient leur poids, leur taille et leur nature. En d’autres termes, la vitesse de chute libre est la même pour tous les corps. Cela allait clairement à l’encontre de l’intuition, et Galilée l’expliquait par un raisonnement simple par l’absurde : supposons qu’un corps plus massif tombe plus vite qu’un corps léger, alors, si on attache à l’aide d’une ficelle une grosse pierre et une petite et qu’on les lâche, la grosse pierre devrait être ralentie dans son mouvement de chute par la petite qui a priori tombe moins vite. Donc le couple petit pierre + grosse pierre tombe moins vite que la grosse pierre toute seule. Or, le couple petit pierre + grosse pierre est plus lourd que la grosse pierre toute seule, et donc devrait en fait tomber plus vite, ce qui est en contradiction avec ce que l’on a dit plus haut en appliquant un autre raisonnement fondé sur la même hypothèse. Cela est donc incohérent, et notre hypothèse de départ est fausse.

 

 
Le principe d’inertie : C’est peut-être là le plus grand apport de Galilée à la physique. En faisant des expériences avec des billes qui roulent sur des plans de différentes natures, il observe que si le plan est très rugueux, la bille s’arrête rapidement, par contre, si le plan est très lisse ou recouvert d’huile par exemple, la bille parcourt une distance beaucoup plus grand avant de s’arrêter. Galilée eut alors l’idée de force de frottement : le plan rugueux frotte très fortement sur la bille et l’oblige à s’arrêter rapidement, en revanche, sur le plan lisse les forces de frottement sont très faibles et n’empêchent pas la bille de rouler. Dans la vie de tous les jours, les forces de frottement sont partout présentes et obligent les corps à stopper leurs mouvements, c’est pour cela que pour entretenir ce mouvement on doit constamment appliquer une force extérieure à un corps pour contrebalancer ses forces de frottement : par exemple, on doit tirer une charrette pour la faire avancer, pour contrebalancer les frottements dus aux pièces mécaniques dans les roues, et également dus au contact avec le sol. Mais si on pouvait réduire ses forces de frottement à zéro, alors, le corps conserverait son mouvement indéfiniment. C’est en faisant une telle extrapolation que, Galilée donne une première formulation du principe d’inertie : tout corps possède une certaine « inertie  » qui l’oblige à conserver sa vitesse, à moins qu’une force extérieure, une force de frottement par exemple, ne l’oblige à arrêter ce mouvement, ou modifier cette vitesse. Le principe d’inertie sera repris par Newton, qui en fera la pierre angulaire de son oeuvre: la loi de la gravitation universelle, dont les conséquences ne sont pas limitées à l’étude de la gravitation, mais qui touche la totalité de la physique. L’univers est écrit en langage mathématique. Cette force responsable de la chute des corps est la même force qui régit les mouvements des corps célestes. Elle peut être calculé grâce à une seule équation. Il y a près de 200 ans, lorsque Uranus a dévié de son orbite prévue, les scientifiques de l’époque ont fait confiance à leurs calculs mathématiques. C’est ainsi qu’ils ont découvert Neptune.

 

 

Tous nos moyens modernes de télécommunication utilisent des ondes d’énergie invisible et inconnue avant les travaux de James Clerk Maxwell, physicien et mathématicien écossais. Dans les années 1860, il publia une série d’équations qui lient l’électricité et le magnétisme. Sa théorie prédisait l’existence des ondes électromagnétiques. De nombreux chercheurs ont cherché ces ondes. Les tentatives de transmission radio du jeune Guglielmo Marconi furent une réussite. Depuis, le pouvoir prédictif des mathématiques s’est confirmé en physique. Cela fait seulement une centaine d’années que nous avons connaissance de l’existence des atomes. De nombreuses expériences semblent en avoir révélé les éléments constitutifs: proton, neutron, électron. Mais les physiciens auraient aussi établi toute une gamme de particules supplémentaires grâce aux mathématiques. Les expériences continuent avec des instruments gigantesques comme le LHC. Cet instrument de 27 kilomètres de circonférence a déjà rempli un des objectifs de la communauté scientifique: confirmer l’existence du boson de Higgs. C’est une particule subatomique prédite par les calculs. Surnommer la particule de Dieu en raison de son rôle fondamentale dans la théorie du champ de Higgs. Cette découverte a valu un prix Nobel à Peter Higgs. Cette science est-elle un outil parfait de l’univers ou bien un outil imparfait inventé par l’homme? Peut-être les deux…

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